Abstract

L’objectif de ce mémoire est d’expliquer la preuve d’un théorème de Pan selon lequel les poids de Hodge-Tate-Sen d’une représentation associée à une forme modulaire p-adique surconvergente de poids k sont 0 et k − 1. La preuve repose sur la notion d’action localement analytique d’un anneau sur un espace de Banach p-adique. On montre que l’action d’une certaine algèbre, appelée algèbre de Hecke, sur certains espaces de formes modulaires surconvergentes est localement analytique. Cela nous permet de déduire les poids de
Hodge-Tate-Sen des représentations associées aux formes surconvergentes d’un résultat de Faltings sur les poids pour les représentations associées à des formes modulaires classiques. L’outil principal de la démonstration est la construction des faux invariants de Hasse par Scholze, dont l’existence suit de sa construction des courbes modulaires perfectoïdes et des morphismes de périodes de Hodge-Tate. Les faux invariants de Hasse commutent avec l’action de l’algèbre de Hecke et nous permettent de réduire l’étude de certains espaces de formes modulaires surconvergentes à l’étude d’espaces de formes modulaires classique.